Простейшая модель электрона: электромагнитная масса и гиромагнитное отношение

Продолжим развлекаться с классической электродинамикой. В прошлый раз мы подсчитали момент импульса в системе, состоящей из магнитного момента (маленькой катушки) в центре большой равномерно заряженной сферы

$$\vec{L}={2\over 3}{Q\vec{\mathfrak{m}}\over ca}.$$(1)

Но магнитное поле вокруг сферы можно создать без дополнительной катушки, просто закрутив ее. Получается, что часть момента импульса вращающейся сферы запасается в ее электромагнитном поле. Определим эту добавку.

Магнитный момент вращающейся сферы 

Мы собираемся показать, что магнитное поле вне равномерно заряженной сферы радиуса a и заряда Q, вращающейся с угловой скоростью ω, точно совпадает с полем магнитного диполя.

Начинаем с векторного потенциала

$$\vec{A}={1\over c}\int\!{\vec{j}\over r}\,dV={Q\over 4\pi ca^2}\int\!{\vec{v}\over r}\,dS={Q\over 4\pi ca^2}\int\!{\vec{\omega}\times a\vec{n}\over r}\,dS,$$

где $$r=|\vec{R}-a\vec{n}|$$ — расстояние от элемента поверхности dS, задаваемого радиус-вектором $$a\vec{n}$$, до точки $$\vec{R}$$, в которой вычисляется векторный потенциал. Учитывая линейность векторного произведения, получаем

$$\vec{A}={Q\over 4\pi ca}\,\vec{\omega}\times\int\!{\vec{n}\over \sqrt{R^2 + a^2-2Ra\cos\chi}}\,dS={Q\over 4\pi ca}\,\vec{\omega}\times\vec{I}.$$

Интеграл $$\vec{I}$$ в последнем выражении — это усреднение единичного вектора $$\vec{n}$$ по направлениям с весом 1/r. Исходя из соображений симметрии ясно, что в результате интегрирования мы получим вектор, параллельный вектору $$\vec{R}$$. Подтвердим это вычислением.

В сферических координатах $$\inline \vec{n}=(\sin\theta\cos\varphi, \sin\theta\sin\varphi, \cos\theta)$$. Направим вектор $$\vec{R}=(0,0,R)$$ вдоль оси z. Тогда угол χ между векторами $$\inline \vec{n}$$ и $$\inline \vec{R}$$ совпадает со сферической координатой θ. Z-компонента интеграла

$$I_z=a^2\int\!\cos\theta\,{1\over \sqrt{R^2 + a^2-2Ra\cos\theta}}\,d(\cos\theta)\,d\varphi.$$

Известно, что функцию 1/r можно разложить по многочленам Лежандра (нас интересует область R > a)

$${1\over \sqrt{R^2 + a^2-2Ra\cos\theta}}=\sum\limits_{l=0}^\infty{a^l\over R^{l+1}}P_l(\cos\theta).$$

Подынтегральное выражение состоит из произведения этого ряда на многочлен Лежандра $$P_1(\cos\theta)=\cos\theta$$. Тогда из условия ортогональности

$$\int\limits_{-1}^{1} P_k(x)P_l(x)\,dx={2\over 2k+1}\delta_{kl}$$

сразу следует ответ

$$I_z={4\pi\over 3}{a^3\over R^2}.$$

Компоненты I_x и I_y пропорциональны интегралам от периодических функций sin φ и cos φ, и поэтому равны нулю. Переходя от проекций к вектору, для векторного потенциала получаем

$$\vec{A}={Qa^2\over 3c}\,\vec{\omega}\times{\vec{R}\over R^3}.$$

Таким образом, магнитное поле вне вращающейся сферы совпадает с полем магнитного диполя

$$\vec{\mathfrak{m}}={Qa^2\vec{\omega}\over 3c}.$$(2)

Для полноты отметим, что аналогичными вычислениями легко показать однородность магнитного поля внутри вращающейся сферы.

Электромагнитная масса

Коэффициент в (1) можно переписать по-другому, если ввести понятие электромагнитной массы. Оно подробно разбирается в главе 28 выпуска 6 фейнмановских лекций (ниже мы воспроизводим некоторые вычисления оттуда и фактически на протяжении двух постов разбираем задачу 2 к этой главе).

Вслед за Фейнманом мы будем называть электромагнитной массой коэффициент пропорциональности между скоростью равномерного движения сферы и импульсом электромагнитного поля. В нерелятивистском случае

$$\vec{E}=Q{\vec{R}\over R^3},\quad\vec{H}={Q\over c}{\vec{v}\times\vec{R}\over R^3}.$$

Тогда импульс электромагнитного поля дается интегралом

$$\vec{P}={1\over 4\pi c}\int\!\vec{E}\times\vec{H}\,dV={Q^2\over 4\pi c^2}\int\!{1\over R^4}\,\vec{n}\times\left[\vec{v}\times\vec{n}\right]\,dV.$$

Такой интеграл (с точностью до коэффициента) мы вычисляли в прошлый раз, поэтому сейчас просто выпишем ответ

$$\vec{P}={2Q^2 \over 3 ac^2}\,\vec{v}=m_e \vec{v}.$$

Гиромагнитное отношение и модель электрона

Теперь мы можем переписать (1) в таком виде

$$\vec{L}={m_ec\over Q}\,\vec{\mathfrak{m}}.$$

Мы получили интересный результат: гиромагнитное отношение для вращающейся безмассовой заряженной сферы совпадает с гиромагнитным отношением электрона.

Обычно в литературе по квантовой механике утверждается, что нельзя представлять себе спин электрона как его вращение, так как в такой модели скорость точек на его поверхности будет больше скорости света. Сейчас мы в этом убедимся.

Подставим в (1) магнитный момент (2) и спин электрона ½:

$${\hbar\over 2}={2\over 3}\,{Q\over ca}\,{Qa^2\omega\over 3c},$$

откуда отношение экваториальной скорости к скорости света есть

$${a\omega\over c}={9\over 4}\,{\hbar c\over Q^2}={9\over 4\alpha}\approx308.$$

Несостоятельность простейшей модели электрона проявляется и в том, что полная энергия электрического поля

$$U={1\over 8\pi}\int\!{E^2}\,dV={1\over 8\pi}\int\limits_a^{\infty}{Q^2\over R^4}\,4\pi R^2\,dR={Q^2 \over 2a}={4\over 3}\,m_ec^2$$

отличается от ожидаемой величины m_ec².