Парадокс Фейнмана, или потоки энергии в постоянных электромагнитных полях
В фейнмановских лекциях по физике (выпуск 6, глава 17) есть описание следующего парадокса.
Представим, что мы конструируем прибор, в котором имеется тонкий круглый пластмассовый диск, укрепленный концентрически на оси с хорошими подшипниками, так что он совершенно свободно вращается. На диске имеется катушка из проволоки — короткий соленоид, концентричный по отношению к оси вращения. Через этот соленоид проходит постоянный ток I от маленькой батареи, также укрепленной на диске. Вблизи края диска по окружности на равном расстоянии размещены маленькие металлические шарики, изолированные друг от друга и от соленоида пластмассовым материалом диска. Каждый из этих проводящих шариков заряжен одинаковым зарядом Q. Вся картина стационарна, и диск неподвижен.
Предположим, что случайно, а может и намеренно, ток в соленоиде прекратился, но, разумеется, без
какого-либо вмешательства извне. Пока через соленоид шел ток, более или менее параллельно оси диска проходил магнитный поток. После того как ток прервался, поток этот должен уменьшиться до нуля. Поэтому должно возникать индуцированное электрическое поле, которое будет циркулировать по окружностям с центром на оси диска. Заряженные шарики на периферии диска будут все испытывать действие электрического поля, касательного к внешней окружности диска. Эта электрическая сила направлена для всех зарядов одинаково и, следовательно, вызовет у диска вращающий момент. Из этих соображений можно ожидать, что, когда ток в соленоиде исчезнет, диск начнет вращаться. Если нам известны момент инерции диска, ток в соленоиде и заряд шариков, то можно вычислить результирующую угловую скорость.Но можно рассуждать и
по-другому. Используя закон сохранения момента количества движения, мы могли бы сказать, что момент диска со всеми его пристройками вначале равен нулю, поэтому момент всей системы должен оставаться нулевым. Никакого вращения при остановке тока быть не должно. Какое из доказательств правильно? Повернется ли диск или нет? Мы предлагаем вам подумать над этим вопросом.
Решение парадокса заключается в том, что в присутствии электрических и магнитных полей имеются потоки энергии, описываемые вектором Пойнтинга $$\vec{S} \sim \vec{E} \times \vec{B}$$. В предложенной Фейнманом конфигурации эти потоки замкнуты. Поскольку поток энергии однозначно связан с плотностью импульса, наличие замкнутых потоков энергии свидетельствует о присутствии ненулевого момента импульса. Таким образом, в системе изначально был запас момента импульса, который после исчезновения магнитного поля был передан диску.
Однако есть люди, которые убеждены в том, что выражение для вектора потока энергии через векторное произведение полей годится только для переменных электромагнитных полей (действительно, перенос энергии в этом случае можно увидеть непосредственно). Им не нравится, что, согласно выражению для вектора Пойнтинга, энергия течет от источника постоянного тока к нагрузке не «по проводам», а снаружи. Основной аргумент сводится к тому, что на поток энергии легко влияют манипуляции с проводом, наличие примесей, разрывов; в то время как никакими телами снаружи, например, дополнительными зарядами или магнитами, остановить поток энергии к нагрузке не удается.
Противники применения вектора Пойнтинга в статике придумывают в этом случае другие выражения для плотности энергии, например, $$\varphi \vec{j}$$. Но такое выражение тоже не лишено недостатков, приписываемых вектору Пойнтинга. Даже если отбросить требование единообразного описания явлений и попытаться применить для зарядов и катушки выражение $$\varphi \vec{j}$$, мы сразу столкнемся с тем, что потенциал φ в точках катушки (а, значит, и и момент импульса системы) легко изменить, поместив систему внутрь большого проводящего заряженного ящика и меняя его заряд. Это плохо согласуется с гипотезой, по которой энергия, как и ток, течет по катушке.
В связи с такой критикой вектора Пойнтинга можно заняться интересным упражнением — непосредственно вычислить момент импульса электромагнитного поля через вектор Пойнтинга и сравнить его с моментом импульса, передаваемым диску. Даже если критиков эти вычисления не убедят, мы еще раз увидим красоту теории.
$$\dvisvgm \usepgflibrary{shadings} \begin{tikzpicture}[x=(-30:3cm),y=(30:3cm),z=(90:3cm),>=stealth] \def\R{1} \shade[ball color=orange,yscale=1.73,opacity=0.5] (0,0) circle (\R); \draw[blue,->] (0,0,0) -- (0,0,0.3\R) node[right] {$\vec{\mathfrak{m}}$}; \draw[thin] (0,0,0) -- (.7\R,.7\R,0) node[below,pos=0.5] {$a$}; \node[orange!80!black] at (0,\R,0.5*\R) {$Q$}; \def\r{0.075} \draw[blue,->,thick] (\r,0,0) arc (0:360:\r); \end{tikzpicture} $$
Для упрощения вычислений изменим систему, предложенную Фейнманом. Будем рассматривать не заряды на краю диска, а равномерно заряженную сферу радиуса a, в центре которой находится небольшая катушка, обладающая магнитным моментом $$\vec{\mathfrak{m}}$$. Магнитный момент, находящийся в начале координат, создает в точке $$\vec{R}$$ векторный потенциал
$$\vec{A} = {\vec{\mathfrak{m}} \times \vec{R} \over R^3}$$(1)
и магнитное поле
$$\vec{H} = {3\vec{n}\,(\vec{\mathfrak{m}} \cdot \vec{n})-\vec{\mathfrak{m}} \over R^3}, \quad \vec{n} = {\vec{R}\over R}.$$
$$\usetikzlibrary{arrows.meta,positioning,decorations.markings,backgrounds} \colorlet{EcolFL}{orange!80!black} \tikzset{EFieldLineArrow/.style={EcolFL,decoration={markings,mark=at position 1 with {\arrow{Stealth}}},postaction={decorate}}} \def\R{0.8} \def\NE{8} \begin{tikzpicture}[-,scale=6] \foreach \i [evaluate={\angle=(\i-1)*360/\NE;}] in {1,...,\NE}{ \draw[EFieldLineArrow] (\angle:0) -- (\angle:\R); } \node[draw=EcolFL,fill=white,circle, minimum size=4cm, inner sep=0, outer sep=0] (circ) at (0,0) {}; \node[EcolFL,right] at (0.56,0.56) {$\vec{E}$} \node[blue,right] at (0.59,0.2) {$\vec{H}$} \node[right] at (0.32,0.32) {$\otimes\vec{S}$} \node[above] at (0.72,0) {$\otimes\vec{S}$} \node[right] at (0.32,-0.3) {$\otimes\vec{S}$} \node[right] at (-0.48,0.32) {$\odot\vec{S}$} \node[above] at (-0.72,0) {$\odot\vec{S}$} \node[right] at (-0.48,-0.3) {$\odot\vec{S}$} \draw [-{Latex}, blue] (0,0) -- (0,.15) node [right] {$\vec{\mathfrak{m}}$}; \begin{scope}[scale=0.3,on background layer] \foreach \a [count=\b] in {1.2}{ \draw[blue,domain=0:6.28,samples=150, line width=0.1mm, decoration={markings,% mark=at position 0.1 with {\arrowreversed{Stealth}}, mark=at position 0.4 with {\arrow{Stealth}}, mark=at position 0.5 with {\arrow{Stealth}}, mark=at position 0.6 with {\arrow{Stealth}}, mark=at position 0.9 with {\arrowreversed{Stealth}}, mark=at position 1 with {\arrowreversed{Stealth}},}, postaction=decorate] plot (xy polar cs:angle=\x r,radius={\a+\b*cos(2*\x r)}); } \end{scope} \end{tikzpicture}$$
Вектор Поинтинга есть
$$\vec{S} = {c\over 4\pi}\vec{E}\times\vec{H}.$$(2)
Он связан с плотностью импульса
$$\vec{P} = {\vec{S} \over c^2}.$$(3)
Тогда, собирая вместе, получаем
$$\vec{P} = {1\over 4\pi c}{Q \over R^2} {1 \over R^3}\left[ \vec{n}\times \left(3\vec{n}\,(\vec{\mathfrak{m}} \cdot \vec{n}) -\vec{\mathfrak{m}} \right) \right] = {Q\over 4\pi c R^5}\left[\vec{\mathfrak{m}} \times \vec{n}\right].$$
Момент импульса
$$\vec{L}=\int\!\vec{R}\times\vec{P}\,dV=\int\! R\,{Q\over 4\pi c R^5}\,\vec{n}\times\left[\vec{\mathfrak{m}} \times \vec{n}\right]dV.$$(4)
Введем сферические координаты так, что $$\vec{\mathfrak{m}}$$ направлен вдоль оси z, а угол θ есть угол между осью z и направлением $$\vec{R}$$. Тогда
$$\vec{L}=\int\limits_a^{\infty}\!{Q\over 4\pi c R^4}R^2dR \int\!\vec{n}\times\left[\vec{\mathfrak{m}} \times \vec{n}\right]d(\cos \theta)\,d\varphi.$$(5)
Первый интеграл берется элементарно. Второй есть усреднение двойного векторного произведения по всем направлениям $$\vec{n}$$, он кроме как от $$\vec{\mathfrak{m}}$$ ни от чего не зависит. Учитывая линейность интегрирования и векторного произведения, зависимость должна быть прямой пропорциональностью. Действительно, вычисления показывают, что второй интеграл равен
$$\vec{\mathfrak{m}}\int\!\sin^2\theta\,d(\cos \theta)\,d\varphi={8\pi\vec{\mathfrak{m}}\over 3}.$$
Окончательно получаем
$$\vec{L}={2\over 3}{Q\vec{\mathfrak{m}}\over ca}.$$
Теперь посмотрим, какой момент импульса будет передан сфере после исчезновения магнитного поля. Начнем с момента электрических сил
$$\vec{M}=\int\!\vec{R}\times\rho\vec{E}\,dV={Q\over 4\pi}\int\!\vec{R}\times\vec{E}\,d(\cos\theta)\,d\varphi.$$
Учитывая, что вихревое электрическое поле определяется формулой
$$\vec{E}=-{1\over c}{\partial \vec{A}\over\partial t},$$
для момента импульса имеем
$$\vec{L}=\int\!\vec{M}\,dt={Q\over 4\pi c}\int\!d(\cos\theta)\,d\varphi\,\vec{R}\times\!\int\!-{\partial \vec{A}\over\partial t}dt.$$
Векторный потенциал уменьшается от начального значения $$\vec{A}$$, задаваемого формулой (1), до нуля. Поэтому последний интеграл просто равен $$\vec{A}$$. Таким образом,
$$\vec{L}=\cfrac{Q}{4\pi c a}\int\!d(\cos\theta)\,d\varphi\,\vec{n}\times \left[\vec{\mathfrak{m}} \times \vec{n}\right].$$
Это выражение совпадает с (5).
Как и ожидалось, весь момент импульса, запасенный в постоянном электромагнитном поле, передается зарядам при исчезновении магнитного поля.
Комментарии
Еще забавно то, что у меня с тех времен сохранились черновики с этим упражнением. Куча листов, многие векторы расписаны в компонентах. А теперь всё умещается на странице :)
Смею заметить, что хотя в моем решении я рассматриваю сферу на удалении, тем не менее Ваша модель при внимательном рассматреннии так же использует это условие неявно, так как вы утверждаете, что поле сферы вне сферы совпадает с полем магнитного диполя, который по сути является лишь математической абстракцией (пока магнитные монополи и монополи не обнаружены). В любой реальной физической проблеме магнитный момент создается витком с током конечных размеров (кстати, тоже один из подходов для оценки как бы скорости вращения электрона). А на расстояниях от витка с током порядка размеров этого витка с током ближнее поле выглядит совсем не так просто, как в дальней зоне. Вылазят эллиптические интегралы и решение в closed form не получается. Для строгости я бы к вашему решению в конце добавил следующее: «поле вне вращающейся сферы совпадает с полем магнитного диполя на значительном расстоянии от диполя».
И хотя мое решение вроде не умещается в одну строку, но части с пояснением о r>>R, с переходами от зарядов к токам, интегрированием и пояснением значения переменных я бы опустил и при желании впихнул бы все в одну строчку в лучших традициях ландафшица)). Пока размышлял над этой задачкой задумался о магнитных полях рамок с током на сфере как об ортогональных функциях (почти как Фурье, но надо
Кстати, могли бы Вы «поспикулировать» на тему магнитных монополей. Вмещаются ли они в МССМ, стоит ли ждать их обнаружения вообще? Тот же Паули кажется очень их любил… монополи…
По невнимательности написал первое сообщение в эту тему т.к.
Но дело в том, что под словами «магнитное поле равномерно заряженной сферы… точно совпадает с полем магнитного диполя» я имел в виду, что это поле точно описывается в каждой точке вне сферы формулой из учебников (хотя обычно, как вы правильно заметили, эта формула дает правильный ответ далеко от витка с током). Иначе говоря, в моем выводе нет предположений о том, что r >> R.
Заряжаем «шарики», подаем питание на катушку — создаем магнитное поле. Затем после раскручивания разряжаем шарики и отключаем питание катушки. Цикл повторяем сколько угодно раз.
Единственный способ оставить противоположный заряд на диске после заряда шариков так чтобы он не создавал противодействия — это поместить его в центр внутри катушки.
Весь вопрос в том, будет ли диск останавливаться при замыкании этих зарядов (для снятия заряда с шариков) и протекании тока по проводнику, перпендикулярно магнитному полю.
Что если сделать этот проводник в виде плоской спиральной катушки на поверхности диска, магнитно взаимодействующей с основной катушкой. Выбирая направление обмотки и момент замыкания шариков на вторую катушку, можно решить будет ли разделение и замыкание зарядов происходить до или после смены полярности питания основной катушки, избежав таким образом противоположного вращения.
Если вдаваться в детали, то выяснится, что на движущиеся заряды в магнитном поле действуют силы Лоренца, которые будут разгонять или тормозить диск,
Дело в том что заряженная сфера вокруг магнитного диполя при раскручивании приобретает кинетическую энергию, которая не может быть больше энергии магнитного поля диполя. Однако уменьшая массу сферы в n раз, при том же приобретенном моменте мы увеличиваем полученную кинетическую энергию в n раз. Так можно сделать ее сколь угодно большой! Правда мы не можем уменьшать массу беспредельно,
Тогда поступим так: пусть на сфере равномерно распределены массивные заряды, при размагничивании диполя они приобретают какую то суммарную энергию. Удвоим количество зарядов на сфере — масса и заряд удвоятся — тангенциальная скорость после раскручивания останется прежней — значит энергия удвоится. Очевидно количество полученной энергии определяется лишь способностью сферы удержать эти заряды.
На самом деле новый парадокс не порождается. Ваше предположение «уменьшая массу сферы в n раз, при том же приобретенном моменте мы увеличиваем полученную кинетическую энергию в n раз» верно только в нерелятивистском случае. Устремляя массу к нулю, вы как раз переходите к ультрарелятивистскому пределу.
Напомню, что в общей теории относительности полная энергия частицы $$E^2=p^2c^2+m^2c^4$$. В ультрарелятивистском пределе $$p\gg mc$$, и тогда кинетическая энергия $$T\sim E\sim pc$$. Иными словами, имея запас импульса $$p$$, мы не сможем передать покоящемуся телу сколь угодно большую энергию, как это следовало бы из классической формулы $$T=p^2/2m$$.
В случае вращения сферы механика сложнее, но идея та же: с учетом теории относительности для фиксированного запаса момента импульса $$M$$ есть предел на передаваемую сфере энергию.
В электромагнитном поле будет запасено достаточное количество энергии, чтобы парадокс не возник. Более того, моя физическая интуиция подсказывает, что предельная передаваемая энергия с учетом поправки на сферичность должна совпадать с запасенной энергией.
Вращающаяся заряженная сфера запасает момент импульса не только в механическом движении, но и в электромагнитном поле. Это я подробно разобрал в следующем посте:
Можно вычислить, что поправка к моменту инерции составляет $$\inline{2\over 9c^2}Q^2a$$. Если устремить массу сферы к 0, ее скорость вращения останется конечной, а приобретенный момент импульса целиком будет электромагнитным. При любых значениях параметров энергии магнитного поля диполя достаточно, чтобы раскрутить сферу.
Основная идея эксперимента остается — магнитный диполь окружен заряженной сферой. При размагничивании диполя скрытый электромагнитный момент превращается в механический момент и приводит к раскрутке заряженной сферы. Кроме того, как отмечено выше, какая то часть исходной энергии магнитного поля превратилась в механическую энергию.
Теперь самое интересное — разместим между диполем и заряженной сферой еще одну сферу — незаряженную, но проводящую. Поскольку она незаряженная, приобрести момент импульса при размагничивании диполя, она не может, но часть энергии электромагнитного поля за счет токов Фуко, поглотит. Фактически мы можем полностью поглотить электромагнитную энергию, излученную диполем.
Откуда же берется энергия для раскрутки заряженной сферы? (скорость ее вращения не изменится при введении дополнительных незаряженных сфер, поскольку должен сохраниться момент импульса)
Предвижу ответ: Энергия полей, расположенных снаружи заряженной сферы полностью преобразуется в механическую энергию вращающейся сферы (и/или в энергию полей этой сферы), а энергия изнутри незаряженных сфер в энергию токов Фуко.
Тогда вместо диполя возьмем бесконечный соленоид, вставленный сначала в проводящий цилиндр, затем в заряженный. Никакого магнитного поля снаружи соленоида нет, однако рассуждения аналогичные случаю с диполем также приводят к парадоксу.
Я даже могу рассказать в деталях, что произойдет с магнитной энергией диполя внутри проводящей сферы.
Предположим, что магнитный момент диполя исчез скачком (по крайней мере, за время, гораздо меньшее затухания токов в проводящей сфере — у нас очень хороший проводник). Поскольку поток магнитного поля через контур, охватываемый проводником, не может мгновенно измениться, по поверхности сферы начнут бежать токи Фуко ровно такой величины, чтобы магнитное поле снаружи сферы не изменилось.
На этом этапе часть энергии выделится в магнитном монополе в виде тепла. Остальная часть энергии перейдет в магнитное поле, создаваемое токами Фуко.
Далее токи Фуко затухают, часть энергии переходит в тепло, оставшаяся часть — в кинетическую энергию и в магнитное поле вращающейся заряженной сферы.
Ваш пример с бесконечным соленоидом внутри бесконечного заряженного цилиндра не имеет отношения к задаче, потому что магнитное поле находится целиком внутри соленоида, а электрическое поле — снаружи цилиндра. Они не пересекаются. И я бы опасался привлекать бесконечные конфигурации источников полей: они обладают бесконечной энергией, и из них легко получить некорректные выводы.
Дело тут сложнее и глубже, чем может показаться при поверхностном рассмотрении. Нельзя просто так заявить, что электромагнитного импульса в статических полях не существует, потому что он не наблюдался на эксперименте. Без этого понятия теория будет содержать внутренние противоречия. Об этом и пишет Фейнман. А из внутренне противоречивой теории методами математической логики можно вывести любое утверждение. «Из лжи следует всё».
Я думаю, что отсутсвтие подтверждения на опыте связано с экспериментальными трудностями. Скорее всего, в лабораторных экспериментах нельзя исключить влияние окружающих тел и предметов, чтобы получить нужную точность.
К тому же, я не знаю ваш уровень образования и не знаю, какие именно знания для такого эксперимента вы считаете априорными. Написав, что «диск с зарядами двигаться никуда не будет», вы допустили грубую школьную ошибку. Вы отрицаете существование электромагнитной индукции.
Величина электромагнитного импульса порядка $$1/c$$. Ясно, что это мизерная величина для лабораторных условий. Я сомневаюсь, что в 1901 году можно было достичь нужной точности и исключить эффект. Описания эксперимента Кремье я не нашел.
Чтобы считать электромагнитный импульс в стационарных полях реальностью, мне достаточно специальной теории относительности (и всех её экспериментальных подтверждений). Из неё следует, что импульс возникает там, где есть поток энергии. Поэтому в стационарных электромагнитных полях с потоком энергии, например, в коаксиальном кабеле с постоянным током, есть и импульс.
Мне интересно отвечать на конкретные вопросы. А продолжать эту дискуссию в том же духе я не буду, у меня нет задачи вас переубедить. Так же последние комментарии не добавляют ничего ценного к посту, поэтому я их частично удалю или отредактирую.
Вообще слабаки.
Если за вопросом скрывается замечание о том, что можно придумать систему, в которой будут замкнутые потоки энергии, но суммарный момент импульса будет нулевой, и наоборот, можно придумать систему, в которой не будет замкнутых потоков энергии, но будет ненулевой момент импульса, то оно справедливо. Замкнутый поток энергии означает, что в некоторой области пространства будет ненулевой момент импульса. Но при суммировании по всем областям пространства он может занулиться. Также тут важно добавить, что мы рассматриваем стационарные неподвижные системы, в которых нет суммарного импульса, и тогда выбор начала координат не влияет на момент импульса.
В любом случае, нужны дополнительные аргументы для вывода о наличии ненулевого момента импульса. Для магнитного момента внутри заряженной сферы подойдут качественные рассуждения о том, что по всему пространству потоки энергии «закручены» вокруг оси симметрии в одном направлении. Либо прямое вычисление момента импульса, если оно возможно.
1) Я добавил в текст еще один чертеж. На нем изображено сечение плоскостью, проходящей через ось симметрии системы. Силовые линии электрического и магнитного поля лежат в плоскости чертежа. Вектор Поинтинга, показывающий плотность потока энергии, перпендикулярен этой плоскости. Слева от оси симметрии он смотрит на нас, справа — от нас. Из соображений симметрии вектор Поинтинга в любой точке пространства будет направлен по касательной к окружности, охватывающей ось симметрии. Это значит, что поток энергии как раз и будет направлен вдоль таких окружностей.
2) В специальной теории относительности доказывается формула (3) для электромагнитного поля. Если есть
Оставьте свой комментарий