Ультрабуст в пространстве (2+1)

В прошлый раз, говоря о (2+1)-мерной гравитации, мы нашли метрику точечной массы:

$$ds^2=-c^2dt^2+d\rho^2+\alpha^2\rho^2d\varphi^2,\quad\alpha=1-4Gm/c^2.$$(1)

Теперь попробуем вывести метрику ультрарелятивистской частицы, пролетающей мимо наблюдателя с околосветовой скоростью. Сначала мы найдем метрику движущейся материальной точки, а затем применим операцию, называемую ультрабустом. Она заключается в одновременном устремлении скорости частицы к скорости света и массы к нулю, чтобы энергия оставалась конечной.

Лоренцев буст

Временно будем считать, что скорость света с = 1.

Для плоской метрики пространства Минковского переход в другую ИСО выполняется при помощи матрицы Лоренца Λ (такое преобразование оставляет метрику инвариантной):

$$g(v)=\Lambda^Tg\Lambda.$$(2)

Эту формулу можно применять не только к плоскому пространству, но и, например, к решению Шварцшильда. Действительно, метрика Шварцшильда асимптотически плоская, поэтому, формально проделав над ней такое преобразование, мы получим на бесконечности преобразования Лоренца из СТО. Следовательно, (2) описывает переход из системы отсчета покоя в систему, движущуюся относительно тела с постоянной скоростью.

Однако метрика (1) не является асимптотически плоской, поэтому обоснование возможности применить (2) в случае пространства (2+1) сложнее.

Для начала заменим переменные:

$$\left\{ \begin{array}{rl} x\!\!\!\!&=r\cos\varphi,\\ y\!\!\!\!&=r\sin\varphi,\\ \varepsilon\!\!\!\!&=1-\alpha^2. \end{array} $$(3)

В этих обозначениях метрика (1) принимает вид

$$g=\left[ \begin{array}{ccc} -1&0&0 \\ 0&1-{\dfrac {\varepsilon\,{y}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}}}&{\dfrac {\varepsilon\,xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}} \\ 0&{\dfrac {\varepsilon\,xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}}&1-{\dfrac {\varepsilon\,{x}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}}} \end{array} \right] .$$

Отсюда и из (1) видно, что ε → 0, когда m → 0. Когда мы уменьшаем массу точки до нуля, пространство переходит в плоское. Результат цепочки преобразований: уменьшение массы до нуля — лоренцев буст — увеличение массы до первоначального значения совпадет с результатом от простого применения формулы (2). Этим и обосновывается возможность ее применения.

Матрица Лоренца есть

$$\Lambda=\left[ \begin {array}{ccc} {\cfrac {1}{\sqrt {1-v^{2}}}}&-{\cfrac {v}{\sqrt {1-v^{2}}}}&0 \\ -{\cfrac{v}{\sqrt {1-{v}^{2}}}}&{\cfrac {1}{\sqrt {1-v^{2}}}}&0 \\ 0&0&1\end {array} \right] .$$

Несложные, но объемные вычисления, которые лучше всего поручить компьютеру, дают

$$\Lambda^Tg\Lambda=\left[\begin{array}{ccc} -1-{v^2\over 1-v^2}{\varepsilon y^2\over x^2+y^2}&{v\over 1-v^2}{\varepsilon y^2\over x^2+y^2}&-{v\over\sqrt{1-v^2}}{\varepsilon xy \over x^2+y^2}}\\ \noalign{\medskip}{v\over 1-v^2}{\varepsilon y^2\over x^2+y^2}&1-{1\over 1-v^2}{\varepsilon y^2\over x^2+y^2}&{1\over\sqrt{1-v^2}}{\varepsilon xy \over x^2+y^2}}\\ \noalign{\medskip}-{v\over\sqrt{1-v^2}}{\varepsilon xy \over x^2+y^2}}&{1\over\sqrt{1-v^2}}{\varepsilon xy \over x^2+y^2}}&1-{\varepsilon x^2 \over x^2+y^2}\end {array}\right].$$

В этом выражении x — координата в сопутствующей системе отсчета. Она связана с координатой x₁ в нашей системе отсчета преобразованием Лоренца

$$x = {x_1-vt \over \sqrt{1-v^2}}.$$

Подставим ее в предыдущее выражение и получим

$$g(v)=\left[\begin{array}{ccc}-1-{v^2\varepsilon y^2\over\left(x_1-vt\right)^2+y^2\left(1-v^2\right)}&{v\varepsilon y^2\over\left(x_1-vt\right)^2+y^2\left( 1-v^2 \right)}&-{v\varepsilon\left(x_1-vt\right)y\over\left(x_1-vt\right)^2+y^2\left(1-v^2\right)}\\ \noalign{\medskip}{v\varepsilon y^2\over \left(x_1-vt\right)^2+y^2\left( 1-v^2 \right)}&1-{\varepsilon y^2\over\left(x_1-vt\right)^2+y^2\left(1-v^2\right)}&{\varepsilon\left( x_1-vt\right)y\over\left(x_1-vt\right)^2+y^2\left(1-v^2\right)}\\ \noalign{\medskip}-{v\varepsilon\left( x_1-vt \right) y\over\left(x_1-vt\right)^2+y^2\left(1-v^2\right)}&{\varepsilon\left(x_1-vt\right)y\over\left(x_1-vt\right)^2+y^2\left(1-v^2\right)}&1-{\varepsilon\left(x_1-vt\right)^2\over\left(x_1-vt\right)^2+y^2\left(1-v^2\right)}\end{array}\right].$$

Ультрабуст

Используем результат, полученный выше, для вывода метрики материальной точки с нулевой массой, движущейся со скоростью света.

Будем переходить к пределу v → c, m → 0 таким образом, чтобы энергия

$$E={mc^2 \over \sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}$$

материальной точки оставалась конечной. С учетом (1) и (3) легко найти, что

$$\varepsilon={8GE \over {c^4}}\sqrt {1-\dfrac{v^2}{c^2}}-{16G^2E^2 \over c^8}\left( {1-\dfrac{v^2}{c^2}} \right).$$

Кроме того, нам понадобится известное соотношение

$$\lim \limits_{a\to +0} \dfrac{a}{z^2+a^2}=\pi \delta (z).$$

В конечном итоге мы получим

$$g(c ) =\left[\begin{array}{ccc} {-c^2-\dfrac{8\pi G}{c^2}E\left| y \right|\delta \left( {x_1 -ct} \right)}& {\dfrac{8\pi G}{c^3}E\left| y \right|\delta \left( {x_1 -ct} \right)}& 0\\{\dfrac{8\pi G}{c^3}E\left| y \right|\delta \left( {x_1 -ct} \right)}& {1-\dfrac{8\pi G}{c^4}E\left| y \right|\delta \left( {x_1 -ct} \right)}& 0 \\ 0& 0& 1\\ \end{array}\right] .$$

В переменных u = x₁ − ct, v = x₁ + ct интервал принимает вид

$$ds^2=-du\,dv+dy^2-\dfrac{8\pi G}{c^4}E\,\delta (u) \left| y \right|du^2.$$

Полезно сравнить этот ответ с ультрабустом в (3+1) [1]:

$$ds^2=-du\,dv+dr^2+r^2 d\theta ^2-8GE\,\delta (u) \ln r du^2.$$

Результаты отличаются функцией от перпендикулярного расстояния, входящей в коэффициент перед du². В двумерном случае это линейная функция, а в трехмерном — логарифм. Эти функции являются функциями Грина уравнения Лапласа размерности на 2 меньше, чем размерность соответствующего пространства-времени. Как видим, результаты получились похожими.

Ссылки

[1] P. C. Aichelburg, R. U. Sexl (Vienna U.). «On the Gravitational field of a massless particle». May 1970. Published in Gen.Rel.Grav.2:303-312,1971.

[2] S. Deser, Alan R. Steif (Brandeis U.). «Gravity theories with lightlike sources in D = 3.» Published in Class.Quant.Grav.9:L153-L160,1992.