Хоккейная задача

В 2007 году на физтеховской олимпиаде по физике была такая задача:

Тонкое кольцо лежит на шероховатой горизонтальной поверхности. После толчка в направлении центра кольца оно перемещается на некоторое расстояние. Когда это кольцо раскрутили до некоторой угловой скорости (поддерживаемой постоянной за всё время движения), то при той же начальной скорости кольцо прошло в $$k$$ раз большее расстояние. Как было раскручено это кольцо? (попытайтесь в ответе найти нелинейную поправку). (В.С. Булыгин)

На примере этой задачи я хочу показать, как использовать системы компьютерной алгебры, в частности, Maple.

В условии поддержка постоянной угловой скорости вращения выглядит искусственно. Это требование упрощает задачу, чтобы ее можно было решить на олимпиаде. В этом посте рассмотрим такую формулировку, а в следующем — потерю через трение не только поступательной скорости, но и вращательной.

Физическая сторона задачи

Решение задачи разобрано на Элементах (там ее назвали «хоккейной задачей»). Физическая часть решения не требует выхода за рамки школьных знаний, на ней останавливаться не будем. А вот на математике остановимся подробнее. Начнем с системы уравнений, выведенной по ссылке выше:

$$\begin{align*} {du\over dt}&=-\mu g\int\limits_0^{2\pi}{d\alpha\over 2\pi}\,{u-v\sin\alpha\over\sqrt{u^2+v^2-2uv\sin\alpha}},\\ {dv\over dt}&=-\mu g\int\limits_0^{2\pi}{d\alpha\over 2\pi}\,{v-u\sin\alpha\over\sqrt{u^2+v^2-2uv\sin\alpha}}. \end{align*}$$(1)

Здесь $$v$$ — скорость поступательного движения, $$u=\omega R$$ — скорость вращательного движения кольца.

Уравнения таковы, что соответствующим выбором единицы измерения времени мы можем избавиться от несущественного множителя $$\mu g$$, поэтому в рассуждениях ниже мы его опустим.

Предельный режим

В предположении $$u=const$$ уравнение на $$v$$ имеет простой предельный режим, когда $$v\to 0$$. Тогда раскладывая подынтегральное выражение в ряд по $$v$$ с точностью до второго порядка малости и интегрируя, видим, что убывание скорости пропорционально самой скорости. При малых скоростях кольцо останавливается по экспоненте, как будто трение не сухое, а жидкостное.

Случай постоянной скорости вращения

По условию угловая скорость вращения поддерживается постоянной, а линейная скорость падает до 0. Логично предположить, что мы имеем дело с режимом $$0<v<u=\text{const}$$. Пусть $$p=v/u$$. Тогда

$$u{dp\over dt}&=-\int\limits_0^{2\pi}{d\alpha\over 2\pi}\,{p-\sin\alpha\over\sqrt{1+p^2-2p\sin\alpha}}.$$(2)

До остановки кольцо проходит расстояние

$$l=\int\limits_0^{t_\text{ост}} v\,dt=u\int\limits_0^{t_\text{ост}} p\,dt.$$(3)

Подставим $$dt$$ из (2) в (3):

$$u^2\int\limits_{p_0}^0{p\,dp\over-\int\limits_0^{2\pi}{d\alpha\over 2\pi}\,{p-\sin\alpha\over\sqrt{1+p^2-2p\sin\alpha}}}=u\int\limits_0^{t_\text{ост}} p\,dt=l.$$(4)

Когда вращения нет, кольцо движется равнозамедленно и проходит расстояние $$l_0=v_0^2/2$$. Вращающееся кольцо проходит в $$k=5$$ раз большее расстояние $$l$$:

$$l=kl_0=k\,{v_0^2\over 2}=ku^2\,{p_0^2\over 2}.$$

Подставим $$l$$ в (4) и поделим на $$p_0^2$$:

$${1\over p_0^2}\int\limits^{p_0}_0{p\,dp\over\int\limits_0^{2\pi}{d\alpha\over 2\pi}\,{p-\sin\alpha\over\sqrt{1+p^2-2p\sin\alpha}}}={k\over 2}.$$(5)

Это уравнение дает нам соотношение между начальной скоростью вращения кольца $$\omega_0=v_0/(p_0R)$$ и ростом проходимого до остановки расстояния $$k$$.

Численное решение в Maple

Внутренний интеграл выражается через эллиптические интегралы. Однако Maple ничего не знает про знак $$p$$ и выдает слишком громоздкое выражение, содержащее фрагменты вроде $$\sqrt{-{2p/(p-1)^2}}$$, csgn(p-1). Подскажем очевидное ограничение на $$p$$:

`assuming`([
    int(
        (p-sin(alpha))/(2*Pi*sqrt(p^2 + 1 - 2*p*sin(alpha))),
        alpha = 0 .. 2*Pi
    )
], [p > 0]):
factor(%);

$${\left(p-1\right)\mathrm{EllipticK}\left(\dfrac{2\sqrt{p}}{p+1}\right)+\left(p+1\right)\mathrm{EllipticE}\left(\dfrac{2\sqrt{p}}{p+1}\right)\over p\pi}$$

После этого легко подобрать ответ $$p_0$$ с нужной точностью:

p0 := 0.78:
(int(
    p^2 * Pi / (
        (p-1) * EllipticK(2*sqrt(p)/(p+1)) +
        (p+1) * EllipticE(2*sqrt(p)/(p+1))
    ),
    p = 0 .. p0
)) / p0^2;

$$2.491446599$$

В начальный момент скорости поступательного движения и вращения были связаны соотношением $$v_0\approx0,\!78\,\omega_0R$$.

Приближенный ответ можно получить не только численно, но и из разложения внутреннего интеграла в ряд

expand(series(`assuming`([int(...)], [p >= 0]), p = 0, 8));

$${1\over 2}p+{1\over 16}p^3+{3\over 128}p^5+O(p^7)$$

Вычислим левую часть (5) при $$p_0=0,\!78$$, последовательно уточняя разложение внутреннего интеграла:

$$\begin{align*} &{1\over 0,\!78^2}\int\limits_0^{0,78}{p\over{\frac{1}{2}p}}\,dp=2,\!564102564,\\ &{1\over 0,\!78^2}\int\limits_0^{0,78}{p\over{\frac{1}{2}p+{1\over 16}p^3}}\,dp=2,\!501916372,\\ &{1\over 0,\!78^2}\int\limits_0^{0,78}{p\over{\frac{1}{2}p+{1\over 16}p^3+{3\over 128}p^5}}\,dp=2,\!493976851. \end{align*}$$

Хотя начальное значение параметра $$p_0=v_0/u_0=0,\!78$$ нельзя назвать малым, линеаризация по этому параметру дает погрешность менее 3%. Для линейного приближения ответ составил бы $$p_0=4/k=0,\!8\,$$. А учет кубической поправки уже дает погрешность меньше процента.