Недавно на гиктаймсе писали про невозможный двигатель на электромагнитной тяге. Для появления такой тяги физических оснований нет, обсуждать его мы не будем. А вот в комментариях завязалась интересная дискуссия о том, может ли замкнутая покоящаяся система изменить свой электромагнитный импульс и за счет отдачи прийти в состояние макроскопического движения. Краткий ответ — нет. Развернутый ответ — ниже.

Введение

Ранее мы рассматривали потоки электромагнитной энергии в постоянных электрических и магнитных полях. Эти потоки были замкнутыми. Однако можно составить такую систему неподвижных источников электрического и магнитного полей, в которой потоки энергии не замкнуты. Следовательно, такие системы обладают ненулевым суммарным электромагнитным импульсом.

Пример такой системы — тороидальный магнит внутри цилиндрического конденсатора. Покажем, что в ней запасается ненулевой электромагнитный импульс.

$$\begin{tikzpicture}[line width=0.21mm,scale=1.898] \coordinate (A) at (1.7,2.3); \draw[dashed,color=gray] (1.9,0.7) arc (-80:80:-0.2 and 0.8) (2.25,0.9) arc (-150:150:-0.5 and 1.2);%torus \draw[thin,dashed,color=gray] (0,1.5) ellipse (0.146 and 0.6) ++(0,-0.6) -- +(1.4,0) +(1.8,0) -- +(4,0) ++(0,1.2) -- +(1.4,0) +(1.8,0) -- +(4,0); \draw (4,1.5) ellipse (0.146 and 0.6) node {$-$} ++(0,-0.6) -- +(-0.45,0) ++(0,1.2) -- +(-0.45,0); \draw[thin,dashed,color=gray] (0,0) arc (-90:90:0.5 and 1.5);%l.ell \draw (4,0) -- (0,0) arc (270:90:0.5 and 1.5) -- +(4,0); \draw (4,1.5) ellipse (0.5 and 1.5);%r.ell \draw (-0.8,1.5) node {$+$}; \draw[thin,->] (A) -- +(0.6,0) node[right] {$\vec{S}$}; \draw[thin,->] (A) -- +(0.4,0.5) node[right] {$\vec{B}$}; \draw[thin,->] (A) -- +(0.15,-0.6) node[right] {$\vec{E}$}; \draw[opacity=0] (-0.9,0) rectangle (4.5,3); \end{tikzpicture}$$

Внутри магнита электрическое поле направлено по радиальным линиям, магнитное — по концентрическим окружностям, а вектор Пойнтинга $$\vec{S}\sim\vec{E}\times\vec{B}$$ — вдоль оси конденсатора. Снаружи соленоида нет магнитного поля и потоков энергии. Поэтому суммарный электромагнитный импульс в такой системе направлен вдоль оси симметрии.

На первый взгляд ненулевой импульс у внешне покоящейся системы выглядит крайне странно и приводит к парадоксам. Например, при изменении тока через соленоид изменяется импульс электромагнитного поля. Система получает механический импульс отдачи и начинает перемещаться. После закачки энергии в сверхпроводящий соленоид замкнутая система без взаимодействия со внешними телами перемещается в произвольном направлении на произвольное расстояние?! Это более чем странно.

Из специальной теории относительности следует, что импульс замкнутой системы относительно центра масс равен нулю (теорема о центре масс). Следовательно, электромагнитный импульс компенсируется импульсом другой природы. Его называют «скрытым импульсом».

Впервые понятие скрытого импульса ввели Шокли и Джеймс в 1967 году. Сведения о скрытом импульсе в доступной форме систематизированы в статье «Hidden momentum, field momentum, and electromagnetic impulse» (David Babson, Stephen P. Reynolds, Robin Bjorkquist and David J. Griffiths).

Сначала докажем теорему о центре масс. Затем выведем величину скрытого импульса модельной системы, которая встречается у Шокли и Джеймса. Также объясним природу скрытого импульса в различных системах. В завершение рассмотрим основные ошибки критиков скрытого импульса.

Ниже мы употребляем понятия «импульс» и «поток энергии» как синонимы. В специальной теории относительности эти величины пропорциональны с коэффициентом $$c^2$$, так как связаны с компонентами симметричного тензора энергии-импульса.

Теорема о центре масс

Докажем, что суммарный импульс замкнутой системы относительно ее центра масс равен нулю. Мы используем тензорные обозначения четырехмерных величин.

Координаты $$X^i$$ центра масс (точнее, центра энергии):

$$X^i=\cfrac{\int x^i\,T^{00}\,d^3x}{\int T^{00}\,d^3x},$$

где плотность энергии $$T^{00}$$ определяется временной компонентой тензора энергии-импульса. Заметим, что у замкнутой системы полная энергия $$\inline\int T^{00}\,d^3x}$$ не зависит от времени (докажите это в качестве упражнения).

По условию теоремы координаты центра энергии не меняются со временем. Продифференцируем их по времени и приравняем к нулю:

$$\int x^i\,{\partial T^{00}\over\partial x^0}\,d^3x}=0.$$

Воспользуемся законом сохранения энергии $$\partial_\mu T^{\mu\nu}=0$$ и перепишем подынтегральное выражение:

$$x^i\,\partial_0 T^{00}=-x^i\,\partial_j T^{j0}=-\partial_j(x^iT^{j0})+T^{j0}\,\partial_j x^i=-\partial_j(x^iT^{j0})+T^{i0}.$$

Интеграл от первого слагаемого как от дивергенции приводится с помощью теоремы Гаусса к интегралу по бесконечно удаленной поверхности от нулевой (на бесконечности) функции. В итоге мы получили, что интеграл от плотности потока энергии $$T^{i0}$$ с необходимостью нулевой. Таким образом, полный поток энергии относительно центра масс системы равен 0.

Cкрытый импульс в модельной системе

Рассмотрим виток с током в однородном электрическом поле. В такой системе тоже есть ненулевой момент импульса электромагнитного поля.

Чтобы выявить природу компенсирующего скрытого импульса, применим модель витка с током постоянного сечения S, в которой носители заряда движутся свободно, без сопротивления.

$$\newcommand{\mycharge}[1][]{ \fill[red!80] (#1) circle (0.49mm); \draw[white,line width=0.21mm] (#1) +(-1pt,0) -- +(1pt,0) +(0,-1.0pt) -- +(0,1.0pt); } \begin{tikzpicture}[join=round,scale=2.109,>=stealth] \def\w{0.08} \def\p{0.1} \draw (2.5,0.5)--(2.5,1.5) [->] node[right] {$\vec{E}$}; \draw (-\p,\w)--(-\p,2-\w) [<->,gray] node[midway,left,black] {$h$}; \draw (\w,-\p)--(2-\w,-\p) [<->,gray] node[midway,below,black] {$l$}; \draw (0.25,0.25) node {$A$} (0.25,1.75) node {$B$} (1.75,0.25) node {$D$} (1.75,1.75) node {$C$}; \draw[rounded corners=1,line width=3.15mm,brown!34](\w,\w)--(2-\w,\w)--(2-\w,2-\w)--(\w,2-\w)--cycle; \foreach \x in {0.1,0.40,...,2.0} \mycharge[\x,0.08]; \foreach \x in {0.1,0.7,...,2.0} \mycharge[\x,1.92]; \foreach \x in {0.45,0.87,1.35} \mycharge[0.08,\x]; \foreach \x in {0.45,0.87,1.35} \mycharge[1.92,\x]; \draw (1.2,0.25)--(0.8,0.25) [->] node[midway,above] {$\vec{v}_1$}; \draw (1,1.75)+(-0.5,0)-- +(0.5,0) [->] node[midway,below] {$\vec{v}_2$}; \draw[opacity=0,line width=0.21mm] (-0.27,-0.30) rectangle (2.72,2); \end{tikzpicture}$$

Пусть в точке A носители заряда имеют скорость $$v_1$$. На участке AB за счет работы электрического поля их скорость растет до величины $$v_2$$. Одновременно с этим снижается плотность носителей заряда, чтобы величина тока $$I=jS=qnvS$$ оставалась постоянной: $$n_1v_1=n_2v_2$$. Далее носители движутся с постоянной скоростью до точки C, замедляются до $$v_1$$ к точке D и возвращаются на этой скорости в точку A.

В нерелятивистском случае, когда импульс одного носителя заряда есть $$p=mv$$, полный импульс носителей на участках BC и AD равен

$$P_\text{нерел}=mv_2n_2Sl-mv_1n_1Sl=0.$$

Но если учесть релятивистские эффекты, когда $$p=\gamma mv$$,

$$P_\text{рел}=\gamma_2mv_2n_2Sl-\gamma_1mv_1n_1Sl=(\gamma_2-\gamma_1){mIl\over q}.$$

Разность кинетической энергии $$K=\gamma mc^2$$ носителей на этих участках определяется работой электрического поля:

$$\gamma_2 mc^2-\gamma_1 mc^2=qEh.$$

Таким образом,

$$P_\text{скр}={IlEh\over c^2}={\mu E\over c^2},$$

где $$\mu$$ — магнитный момент витка с током.

Результат легко обобщается на случай произвольного точечного магнитного диполя в неоднородных электрических полях. Электрическое поле, перпендикулярное плоскости витка, не влияет на движение зарядов. Переходя от проекции электрического поля на плоскость витка к вектору, получаем

$$\vec{P}_\text{скр}={1\over c^2}\,\vec\mu\times\vec{E}.$$

Можно показать, что электромагнитный импульс в системе из заряда q и диполя $$\mu$$ определяется формулой

$$\vec{P}_\text{эм}=-{1\over c^2}\vec\mu\times\vec{E},$$

где $$\vec{E}=q\vec{R}/R^3$$ — электрическое поле заряда в точке, где находится диполь. Электромагнитный импульс полностью компенсируется скрытым импульсом. Мы не будем делать расчет конкретно для этой системы. Вместо этого покажем, что такая компенсация происходит всегда.

Скрытый импульс и импульс электромагнитного поля

В произвольном электростатическом поле с потенциалом $$\varphi$$ выражение для скрытого импульса витка с током I приобретает вид

$$\vec{P}_\text{скр}=-{I\over c^2}\oint\varphi\,d\vec{l}.$$

Если задана объемная плотность тока $$\vec{j}$$, то

$$\vec{P}_\text{скр}=-{1\over c^2}\int\varphi\vec{j}\,dV.$$

Подставим в последнюю формулу уравнение Максвелла для стационарных полей $$\nabla\times\vec{B}=(4\pi/c)\vec{j}$$:

$$\begin{align*} \vec{P}_\text{скр}&=-{1\over 4\pi c}\int\varphi\,\nabla\times\vec{B}\,dV=-{1\over 4\pi c}\int\left(\nabla\times\varphi\vec{B}-\nabla\varphi\times\vec{B}\right)\,dV=\\ &={1\over 4\pi c}\oint\varphi\vec{B}\times d\vec{S}-{1\over 4\pi c}\int\vec{E}\times\vec{B}\,dV=-{1\over c^2}\int\vec{S}\,dV=-\vec{P}_\text{эм}. \end{align*}$$

Первое слагаемое — интеграл по бесконечно удаленной поверхности — для замкнутых ограниченных в пространстве систем равен 0. Таким образом, мы получили, что ненулевой полный электромагнитный импульс системы всегда компенсируется скрытым импульсом. Полный импульс покоящейся стационарной системы — нулевой.

Природа скрытого импульса

Скрытый импульс связан с механическим движением носителей зарядов. Масса носителей фигурировала в выводе, но сократилась в итоговом ответе.

Скрытый импульс имеет релятивистский характер. Если бы не поправки специальной теории относительности, скрытый импульс был бы нулевым.

Природа скрытого импульса зависит от самой системы. В рассмотренной выше модели скрытый импульс (и поток энергии) связан с ускорением зарядов. В модели тока заряженной несжимаемой жидкости скрытый поток энергии вызывается перепадом давления. Во вращающемся заряженном диэлектрике (например, в сфере) импульс и поток энергии запасен в движении участков с разным механическим напряжением.

$$\begin{tikzpicture}[scale=2.109,line width=0.21mm,draw=red,node distance=4cm] \draw [fill=red!10] circle (0.7); \draw (-120:.15) [->,thin,black] arc(240:-60:.15); \def\n{12} \foreach \s in {1,...,\n} \node at ({360/\n * (\s-1)}:0.6) {$+$}; \node[fill=red!10,draw,circle] at (0,-1.3) {$+$}; \draw (0,-0.844) node {$\text{растянуто}$}; \draw (0,0.82) node {$\text{сжато}$}; \draw[line width=5,draw=black!20] (2,-0.3)+(0,-0.5) arc (270:90:0.5) -- +(2,0) node[midway,above=0.05mm] {$\text{натяжение меньше}$} arc (90:-90:0.5) -- +(-2,0) node[midway,below=-0.1mm] {$\text{натяжение больше}$}; \draw[fill=green!10,draw=green!40!black] (2,-0.3) circle(0.46) +(2,0) circle(0.46); \draw (2,-0.3) +(-120:.1) [->,thin,black] arc(240:-60:.1); \end{tikzpicture}$$

Поток механической энергии в последнем случае аналогичен потоку энергии в ременной передаче. Нижняя половина ремня на рисунке справа перемещается от нагрузки к двигателю. Она натянута больше, чем верхняя. При этом поток механической энергии направлен к нагрузке.

В настоящих электромагнитах скрытого импульса нет

В примере из введения нельзя заменить тороидальный магнит на соленоид с током. Если намотать соленоид металлическим проводом, то ни скрытого импульса внутри него, ни электромагнитного импульса снаружи не будет.

Всё дело в экранировке внешнего электрического поля в металле. Перераспределение поверхностных зарядов приводит к тому, что поверхность идеального проводника становится эквипотенциальной, и интеграл от плотности скрытого импульса $$-\varphi\vec{j}$$ зануляется.

Также исчезает и электромагнитный импульс. Электрическое поле перпендикулярно эквипотенциальным поверхностям, а вектор Пойнтинга направлен по касательным к ним. Потоки энергии текут вдоль эквипотенциальных поверхностей и вынуждены быть замкнутыми.

Ненулевое сопротивление настоящих металлов приводит к падению потенциала вдоль проводника и попаданию части потока энергии внутрь. Энергия исходит из источника тока и перемещается к проводнику, в котором переходит в тепло. Такая система уже нестационарна. В ней энергия перемещается от одной части к другой, и полный импульс отличен от нуля.

Чтобы в системе появился и электромагнитный, и скрытый импульс, вместо электромагнита надо взять неметаллический источник магнитного поля. Скрытый импульс $$-\varphi\vec{j}$$ будет запасен в молекулярных токах Ампера.

Критика скрытого импульса

Понятие скрытого импульса часто подвергается критике недостаточно компетентными авторами. Рассмотрим распространенные ошибки критиков на примере текста некоего Джеррольда Франклина.

1. В статье рассуждения начинаются не с вектора Пойнтигна, выражение для которого выводится из принципа наименьшего действия, а с применения третьего закона Ньютона к силе Лоренца. Начиная не с общих формул, а с частных, нельзя прийти к общим выводам.

2. Утверждается, что теорему о центре масс нельзя применить к электромагнитному полю, потому что взаимодействие с веществом $$-\vec{j}\cdot\vec{E}$$ нарушает равенство $$\partial_\mu T^{\mu\nu}_\text{эм}=0$$. Но правильно применять теорему к полной системе, включающей и электромагнитное поле, и вещество, а не к ее части.

3. Автор критикует модель витка с током, заявляя, что в ней появятся поверхностные заряды, компенсирующие внешнее электрическое поле. Аргумент имеет смысл только для систем с точной компенсацией зарядов разного знака вроде металлических проводников. Его легко обойти, потребовав, чтобы все заряды в витке были одного знака.

4. Еще одна грубая ошибка присутствует в предложении, по которому перераспределение зарядов по поверхности металлического проводника не приводит к исчезновению электромагнитного импульса. Суммарный ненулевой электромагнитный импульс присутствует в системе с ненулевым суммарным потоком электромагнитной энергии. Он появляется в системе с источниками и стоками энергии $$-\vec{j}\cdot\vec{E}\ne 0$$. Внутри и снаружи идеального проводника $$\vec{j}\cdot\vec{E}=0$$, электрическое поле существенно искажается и суммарный электромагнитный поток энергии исчезает.

5. Неверный логический переход в следующем выводе: во вращающихся диэлектрических заряженных телах не может быть ускорения носителей зарядов и связанной релятивистской добавки, и поэтому в ней нет скрытого импульса. На самом деле скрытый импульс есть, он имеет другую природу и связан с механическим напряжением, как мы показали выше.

Автору не удалось показать ни неприменимость теоремы о центре масс, ни отсутствие необходимости во введении понятия скрытого импульса, ни отсутствие самого скрытого импульса.

Я люблю задачки, в которых нужно искать траектории частиц или уравнения необычных линий. К сожалению, они не всегда решаются аналитически. Разберем задачу, у которой аналитическое решение существует.

Задача

По окружности небольшого радиуса едет трактор. К нему на жестком стержне прикреплен груз (например, прицеп). По какой траектории будет двигаться груз?

При движении трактора по прямой траектория груза известна — это трактриса. В нашем случае движение будет более сложным. Я сделал анимацию искомой траектории — круговой трактрисы. Посмотрите на эту красоту.

Решение

Будем считать трактор точкой, движущейся по окружности радиуса r, и обозначать на рисунках зеленым кружком. К нему с помощью стержня длины L прикреплен груз (красный кружок).

Из кинематических связей координаты груза определяются формулами

$$x=r\cos\varphi+L\cos\theta,\quad y=r\sin\varphi+L\sin\theta.$$

Еще одна кинематическая связь дает ограничение на скорость груза. По условию вектор скорости всегда направлен на трактор. Поэтому угол θ в прямоугольном треугольнике совпадает с точностью до знака с углом наклона касательной:

$${dy\over dx}=\text{tg\,}\theta.$$

Мы выразим θ через φ и получим уравнение траектории в параметрической форме. Введем новый параметр β = L/r, возьмем дифференциалы первых двух уравнений и подставим в последнее:

$$-{\cos\varphi\,d\varphi+\beta\cos\theta\,d\theta\over \sin\varphi\,d\varphi+\beta\sin\theta\,d\theta}=\text{tg\,}\theta.$$

Приведя к общему знаменателю и воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством и формулой косинуса разности, получаем дифференциальное уравнение

$$\beta{d\theta\over d\varphi}+\cos(\theta-\varphi)=0.$$

Оно решается разделением переменных после замены θ = α + φ. Решение имеет разный вид в зависимости от параметра β:

$$\theta(\varphi)=\left\{\begin{array}{l}\varphi-2\,\text{arctg}\left[\sqrt{\dfrac{\beta+1}{\beta-1}}\,\text{tg}\left(\varphi\,\dfrac{\sqrt{\beta^2-1}}{2\beta}\right)\right],\quad\beta>1,\\\vphantom{\dfrac{1}{1}}\varphi-2\,\text{arctg}\,\varphi,\quad\beta=1,\\\varphi-2\,\text{arctg}\left[\sqrt{\dfrac{1+\beta}{1-\beta}}\,\text{th}\left(\varphi\,\dfrac{\sqrt{1-\beta^2}}{2\beta}\right)\right],\quad\beta<1.\end{array}\right.$$

Анализ решения

Если β < 1, движение непериодическое. Груз следует за трактором. Интересный режим возникает при β = 1. Тогда груз неограниченно приближается к центру окружности:

Если β > 1, движение будет периодическим по звездообразной траектории:

Чтобы найти угол между направлениями на соседние максимум и минимум, заметим, что груз находится дальше всего от центра, когда θ и φ совпадают, и ближе всего к центру, когда отличаются на π. В первом случае тангенс равен нулю, во втором — расходится. Возьмем направление на максимум θ = φ = 0 и направление на первый минимум φ = θ + π, определяющийся условием

$$(\pi+\theta)\,{\sqrt{\beta^2-1}\over 2\beta}={\pi\over 2}.$$

Угол между направлениями составляет

$$\theta=\pi\left({\beta\over\sqrt{\beta^2-1}}-1\right).$$

Если параметр удовлетворяет условию

$${1\over N}={\beta\over\sqrt{\beta^2-1}}-1,$$

то груз описывает замкнутую линию — N-конечную звезду. Вот пример для $$N=5,\beta=6/\sqrt{11}$$:

На втором курсе за неделю перед досрочным экзаменом по теоретической физике Семен Соломонович Герштейн задал мне две задачи. В одной требовалось найти угловое распределение синхротронного излучения электрона, движущегося по окружности. Вторая оказалась интереснее: найти силу торможения со стороны реликтового излучения на площадку, движущуюся перпендикулярно самой себе. Остановимся на ней подробнее. Записей с тех времен у меня не сохранилось, а в литературе опубликованы противоречивые результаты. Хороший повод заново разобраться в задаче.

Обозначения и соглашения

Под реликтовым излучением мы подразумеваем равновесное тепловое излучение при некоторой температуре T. Напомним, что плотность энергии и давление равновесного излучения определяются температурой: ε = 4πσT⁴/c, P = ε/3.

В системе отсчета, связанной с реликтовым излучением, оно однородно и изотропно. Относящиеся к ней величины будем обозначать символами без штрихов. Относительно этой системы со скоростью v движется площадка (например, диск) с коэффициентом отражения R. Штрихами обозначим величины в сопутствующей системе отсчета (связанной с площадкой).

Будем опускать скорость света c в тех формулах, где она легко восстанавливается из соображений размерности.

Обзор литературы

В публикациях по этой проблеме нет консенсуса. Например, в письме Андрея Шепелева в УФН под названием «Космический микроволновой фон и аристотелевы представления о движении» приведена формула для давления на площадку $$P=-v\,(1+v^2/2)\,\varepsilon/2$$. Этот ответ, как мы увидим ниже, явно ошибочен. Автор не раскрывает вычислений, поэтому невозможно понять, где ошибка.

В работе Баласаняна и Мкртчяна «Blackbody radiation drag on a relativistically moving mirror» вычисляется плотность импульса в системе отсчета, связанной с диском, и она отождествляется с давлением (с точностью до учета отражения). По поводу этой работы у меня есть два замечания. Во-первых, для вычисления плотности импульса авторы предлагают непростой путь. Они интегрируют импульс фотона $$\vec{k}'$$ по импульсному пространству c функцией распределения

$$n'(\vec{k}')={1\over e^{\gamma(\omega' +k'_xv)/T}-1}.$$(1)

В то же время плотность импульса электромагнитного излучения отличается на множитель 1/c² от вектора Поинтинга, проекции которого есть компоненты T⁰ⁱ тензора энергии-импульса. Записав преобразование Лоренца для компоненты T⁰¹ тензора

$$T^{\mu\nu}=\begin{pmatrix}\varepsilon &0&0&0\\0&\varepsilon/3&0&0\\0&0&\varepsilon/3&0\\0&0&0&\varepsilon/3\end{pmatrix},$$

сразу получаем плотность импульса (см. II том Ландау и Лифшица, §35, формула 35.3)

$$S'_x=-{4\over 3}\,\varepsilon\,{v\over 1-v^2}.$$(2)

Во-вторых, неправильно отождествлять проекцию импульса электромагнитной волны, падающей на площадку под углом θ к нормали, с давлением, потому что сама площадка находится под углом, и ее эффективная площадь уменьшается. Из-за дополнительного фактора |cos θ|, появляющегося под интегралом (см. ниже), формула (2) не является правильным ответом, и использовать ее вообще нельзя.

Вычисление в сопутствующей системе отсчета

$$\usetikzlibrary{decorations.pathmorphing} \begin{tikzpicture}[line width=0.2mm,scale=1.0545]\small \tikzset{>=stealth} \tikzset{snake it/.style={->,semithick, decoration={snake,amplitude=.3mm,segment length=2.5mm,post length=0.9mm},decorate}} \def\h{3} \def\d{0.2} \def\ww{1.4} \def\w{1+\ww} \def\p{1.5} \def\r{0.7} \coordinate[label=below:$A$] (A2) at (\w,\p); \coordinate[label=above:$B$] (B2) at (\w,\p+\h); \coordinate[label=left:$C$] (C1) at (0,0); \coordinate[label=left:$D$] (D) at (0,\h); \draw[fill=blue!14](A2)--node[left]{$S$}(B2)-- ++(\d,0)-- ++(0,-\h)--cycle; \draw[gray,thin](C1)-- +(\w+\d,0); \draw[dashed,line width=0.2mm](C1)--(D); \draw[snake it](C1)--(A2) node[pos=0.5,above,inner sep=8] {$c\Delta t$}; \draw[snake it](D)--(B2); \draw[thin](\r,0) arc (0:atan2(\p,\w):\r) node[midway,right,yshift=0.06cm] {$\theta$}; \draw[opacity=0](-0.40,-0.14)-- ++(0,5.06); \end{tikzpicture}$$Давление как силу на единицу поверхности определим через импульс, передаваемый диску при отражении или поглощении фотонов за единицу времени:

$$P={F\over S}={1\over S}{\hbar\Delta k\over\Delta t}.$$

Если фотоны летят под углом θ к нормали, то за время Δt до неподвижной площадки S долетят фотоны из объема S cΔt |cos θ|. Из них доля R отразится и доля (1−R) поглотится. Каждый поглощенный фотон отдаст импульс $$\hbar k\cos\theta=\hbar\omega\cos\theta/c$$, а каждый отраженный — в два раза больше. Собирая всё вместе, получаем в сопутствующей системе отсчета

$$P=\int{\hbar\omega'\cos\theta'\over S\,c\Delta t'}\,(1+R)\,S\,c\Delta t'\,|\cos\theta'|\,n'(\vec{k}')\,d^3k'.$$

Напомним, что частота ω и волновой вектор $$\vec{k}$$ образуют четырехвектор $$(\omega, \vec{k})$$. Переход к движущейся системе координат осуществляется преобразованиями Лоренца

$$\omega'={\omega-k_xv\over\sqrt{1-v^2}},\qquad k_x'={k_x-\omega v\over\sqrt{1-v^2}}.$$

Функция распределения $$n(\vec{k})$$ в фазовом пространстве инвариантна относительно преобразований Лоренца, так как и элемент фазового объема $$d^3r\,d^3k$$, и число частиц $$dN=n(\vec{r},\vec{k})\,d^3r\,d^3k$$ есть инварианты (подробнее см. II том Ландау и Лифшица, §10). Именно поэтому функция распределения в движущейся системе $$n'(\vec{k'})=n(\vec{k})$$ есть обычное распределение Бозе — Эйнштейна (1), в которое подставлена преобразованная частота.

В итоге давление определяется следующим интегралом

$$P=\int \hbar\omega'\cos\theta'\,(1+R)\,|\cos\theta'|\,{const\over exp\left(\dfrac{\hbar\omega'}{kT}\,\dfrac{1+v\cos\theta'}{\sqrt{1-v^2}}\right)-1}\,\omega'^2\,d\omega'\,{d(\cos\theta')\over 2}.$$(3)

Вместо того чтобы следить за комбинацией констант, которая в итоге должна свестись к постоянной Стефана-Больцмана σ, мы примем условие нормировки в выражении для плотности энергии с той же самой константой:

$$\varepsilon=\int \hbar\omega\,{const\over exp\left(\dfrac{\hbar\omega}{kT}\right)-1}\,\omega^2\,d\omega={4\pi\sigma\over c}T^4.$$

Еще отсюда видно, что (3) можно упростить, проинтегрировав по частотам. Множитель $${\sqrt{1-v^2}}/{(1+v\cos\theta')}$$ перед температурой в экспоненте появится под интегралом в четвертой степени. Дальнейшее вычисление тривиально:

$$P=\varepsilon\,(1+R)\int\limits_{-1}^{1}\cos\theta'\,|\cos\theta'|\,\dfrac{(1-v^2)^2}{(1+v\cos\theta')^4}\,{d(\cos\theta')\over 2},$$

$${\Large\boxed{P=-\varepsilon\,(1+R)\,\frac{v\,(1+v^2/3)}{1-v^2}}.}$$(4)

Чтобы убедиться в правильности результата, вычислим тем же методом давление фотонного газа на одну сторону покоящейся пластины. Зависящий от скорости подынтегральный множитель исчезает, а интеграл в пределах от 0 до 1 равен 1/3. Полное давление есть (1+R) ε/6. Если пластина всё отражает и ничего не поглощает, давление совпадает с ожидаемой величиной ε/3. Если пластина всё поглощает, давление равно ε/6 и составляет половину от давления фотонного газа ε/3. Вторая половина набегает за счет собственного излучения пластины, которое мы в наших расчетах не учитывали.

Формула (4) не совпадает ни с результатом Шепелева, который утверждает, что ответ сложен, и раскладывает его в ряд, ни с результатом Баласаняна, который ошибочно отождествляет в этой задаче плотность импульса и давление.

Вычисление в неподвижной системе отсчета

$$\usetikzlibrary{decorations.pathmorphing} \begin{tikzpicture}[line width=0.2mm,scale=1.0545]\small \tikzset{>=stealth} \tikzset{snake it/.style={->,semithick, decoration={snake,amplitude=.3mm,segment length=2.5mm,post length=0.9mm},decorate}} \def\h{3} \def\d{0.2} \def\ww{1.4} \def\w{1+\ww} \def\p{1.5} \def\r{0.7} \coordinate[label=below:$A_1$] (A1) at (\ww,\p); \coordinate[label=above:$B_1$] (B1) at (\ww,\p+\h); \coordinate[label=below:$A_2$] (A2) at (\w,\p); \coordinate[label=above:$B_2$] (B2) at (\w,\p+\h); \coordinate[label=left:$C$] (C1) at (0,0); \coordinate[label=left:$D$] (D) at (0,\h); \draw[fill=blue!14](A2)--(B2)-- ++(\d,0)-- ++(0,-\h)--cycle; \draw[gray,thin](C1)-- +(\w+\d,0); \draw[dashed,gray,fill=blue!5](A1)-- (B1)-- ++(\d,0)-- ++(0,-\h)-- cycle; \draw[dashed,line width=0.14mm](A1)--(C1)--(D)--(B1); \draw[snake it](C1)--(A2) node[pos=0.6,below] {$c\Delta t$}; \draw[->,semithick](\ww,\p+0.44*\h)-- +(\w-\ww,0) node[pos=0.6,above] {$v\Delta t$}; \draw[snake it](D)--(B2); \draw[thin](\r,0) arc (0:atan2(\p,\w):\r) node[midway,right,yshift=0.06cm] {$\theta$}; \draw[opacity=0](-0.40,-0.14)-- ++(0,5.06); \end{tikzpicture}$$ Тот же результат получается и в неподвижной системе отсчета. В ней не нужно иметь дела с функцией распределения фотонов, однако из-за движения площадки геометрические выкладки сложнее.

Чтобы понять, сколько летящих под углом θ фотонов с частотой ω попадет за время Δt на площадку AB, нужно ввести понятие «заметаемого объема» (объем, фотоны из которого попадут на диск) и умножить его величину на плотность фотонов n_ω. За это время площадка переместится из положения A₁B₁ в положение A₂B₂, а фотоны из точек C и D долетят до диска. Таким образом, заметаемый объем соответствует фигуре A₁B₁DС, и его величина равна S |cΔt cos θ − vΔt|.

При отражении фотона от площадки в сопутствующей системе отсчета знак проекции волнового вектора фотона изменяется на противоположный: $$k'_{2x}=-k'_{1x}$$. Найдем соответствующее изменение в неподвижной системе:

$$\begin{aligned}\Delta k &=k_{1x}-k_{2x}=k_{1x}-\gamma(k'_{2x}+\omega'_2v)=k_{1x}+\gamma(k'_{1x}-\omega'_1v)=\\&=k_{1x}+\gamma\left(\gamma(k_{1x}-\omega_1 v)-\gamma(\omega_1-k_{1x}v)v\right)=k_{1x}+\gamma^2\left(k_{1x}(1+v^2)-2v\omega\right).\end{aligned*}$$

Выражая проекцию волнового вектора через частоту фотона и азимутальный угол $$k_x=\omega\cos\theta$$, получаем

$$\Delta k=\omega\left[\cos\theta\left(1+{1+v^2\over 1-v^2}\right)-2{v\over 1-v^2}\right]={2\omega\over 1-v^2}\,(\cos\theta-v).$$

Ясно, что двойку в последнем выражении нужно заменить на (1+R), чтобы учесть случай произвольного коэффициента отражения R. Давление

$$P_\omega=\int{\hbar\omega\over S\,c\Delta t}\,{1+R\over 1-v^2}\,(\cos\theta-v)\,S|c\Delta t\cos\theta-v\Delta t|\,n_\omega\,{d(\cos\theta)\over2},$$

$$P_\omega={n_\omega\over 2}\hbar\omega\,{1+R\over 1-v^2}\int\limits_{-1}^{1}dx\,(x-v)|x-v|.$$

После вычисления интеграла и усреднения плотности энергии $$n_\omega\hbar\omega$$ по частотам получается формула (4).

Я собираюсь применить метод наименьших квадратов для проведения гиперплоскости через набор точек во многомерном пространстве. Для начала вспомним суть метода и поймем, в чем состоит задача.

В простейшем случае метод наименьших квадратов применяется для проведения прямой линии через набор экспериментальных точек и состоит в минимизации суммы квадратов отклонений $$\inline\sum(y_i-ax_i-b)^2$$, которые списываются на погрешность измерений. В результате минимизации для коэффициентов a и b получается простая система линейных уравнений. Здесь важно предположение о том, что ошибки по оси x пренебрежимо малы по сравнению с ошибками по оси y. Если это не так, то минимизировать нужно более сложное выражение.

Иногда возникает задача другого рода — провести геометрическую прямую через набор геометрических точек «наилучшим образом». Для этой задачи метод наименьших квадратов нужно адаптировать, так как поспешное применение формул для коэффициентов a и b будет давать разные прямые в разных системах координат. Теперь отклонения по осям должны быть одинаковы. Правильный подход заключается в минимизации суммы квадратов расстояний $$\inline\sum(y_i-ax_i-b)^2/(1+a^2)$$ от точек (x_i, y_i) до проводимой прямой. Он дает нелинейную систему уравнений, которую можно решать численно. Однако этот подход тяжело обобщается на интересующий меня многомерный случай. Поэтому мы с самого начала будем рассматривать задачу во многомерном пространстве.

Задача

Пусть задан набор точек $$\vec{x}^k$$. Мы хотим провести гиперплоскость $$(\vec{n}\cdot\vec{x}) = d$$ такую, что сумма квадратов расстояний от точек $$\vec{x}^k$$ до нее будет минимальна. Расстояние до гиперплоскости находится с помощью проекции на единичный вектор нормали $$\vec{n}$$, и выражение для минимизации принимает вид

$$\sum_k\left((\vec{n}\cdot\vec{x}^k)-d\right)^2\to\text{min}.$$

При этом нужно учитывать уравнение связи $$(\vec{n}\cdot\vec{n}) = 1$$, которое уменьшает на 1 количество степеней свободы в неизвестных величинах n_i, d. Учет связи выполняется с помощью метода множителей Лагранжа. Однако мы пойдем другим путем, который сократит выкладки и напрямую приведет к выражениям, подходящим для численного счета. Мы разрешим вектору $$\vec{n}$$ иметь произвольную длину, и введем явную нормировку:

$$\sum_k\left({(\vec{n}\cdot\vec{x}^k)\over|\vec{n}|}-d\right)^2\to\text{min}.$$

Параллельный перенос

Продифференцируем по d:

$$\sum_k\left({(\vec{n}\cdot\vec{x}^k)\over|\vec{n}|}-d\right)={(\vec{n}\cdot\sum_k\vec{x}^k)\over|\vec{n}|}-\sum_kd=0.$$

Как видим, «центр масс» набора точек $$\inline\sum\vec{x}^k/\sum 1$$ находится на искомой плоскости. Выполним параллельный перенос системы координат таким образом, чтобы ее начало совпало с центром набора точек $$\inline\sum\vec{x}^k=0$$. В этой системе координат d=0.

Условие на вектор нормали

Перейдем к индексным обозначениям и продифференцируем по n_a:

$${\partial\over\partial n_a}\left({n_ix_i^k\,n_jx_j^k\over n_ln_l}\right)={2x_a^k\,n_jx_j^k\over n_ln_l}-{2n_a\,n_ix_i^k\,n_jx_j^k\over n_ln_l\,n_pn_p}=0,$$

$$n_jx_j^k\left[x_a^k(n_pn_p)-n_a(n_ix_i^k)\right]=0,$$

$$\sum_k\vec{n}\cdot\vec{x}^k\left[\vec{x}^k(\vec{n}\cdot\vec{n})-\vec{n}(\vec{n}\cdot\vec{x}^k)\right]=0.$$

Вычислительный аспект

Нелинейное уравнение относительно вектора $$\vec{n}$$ можно решать методом итераций:

$$\sum_k\vec{n}_{i+1}\cdot\vec{x}^k\left[\vec{x}^k(\vec{n}_i\cdot\vec{n}_i)-\vec{n}_i(\vec{n}_i\cdot\vec{x}^k)\right]=0.$$

С помощью матрицы $$A_{aj}(\vec{n})=\left[x_a^k(n_pn_p)-n_a(n_ix_i^k)\right]x_j^k$$ оно представляется в виде

$$A(\vec{n}_i)\,\vec{n}_{i+1}=0$$

и сводится к поиску ядра линейного оператора. Нетривиальность ядра связана с «лишней» степенью свободы, появившейся из-за отбрасывания условия нормировки вектора нормали. Читатели могут самостоятельно проверить с помощью формулы Бине — Коши, что определитель матрицы $$A(\vec{n}_i)$$ равен нулю.

По теореме Фредгольма ядро оператора ортогонально образу сопряженного оператора, то есть линейной оболочке, натянутой на строки $$\vec{a}_a$$ матрицы $$A_{aj}(\vec{n}_i)$$. Алгоритм поиска ортогонального дополнения состоит в выборе произвольного вектора $$\vec{r}$$ и ортогонализации набора векторов $$\vec{r}, \vec{a}_a$$:

$$\vec{r}^{\,\prime}=\vec{r}-\vec{a}_1{(\vec{r}\cdot\vec{a}_1)\over(\vec{a}_1\cdot\vec{a}_1)},$$

$$\vec{a}_2^{\,\prime}=\vec{a}_2-\vec{a}_1{(\vec{a}_2\cdot\vec{a}_1)\over(\vec{a}_1\cdot\vec{a}_1)},\quad\vec{r}^{\,\prime\prime}=\vec{r}^{\,\prime}-\vec{a}_2^{\,\prime}{(\vec{r}^{\,\prime}\cdot\vec{a}_2^{\,\prime})\over(\vec{a}_2^{\,\prime}\cdot\vec{a}_2^{\,\prime})}\ldots$$

Так как строки матрицы $$A(\vec{n}_i)$$ линейно зависимы, один из векторов $$\vec{a}_a$$ при ортогонализации из набора исключается. Для большей определенности алгоритма в качестве начального приближения перебираем базисные векторы, пока в результате ортогонализации не получится ненулевой вектор следующего приближения $$\vec{n}_{i+1}$$. В двумерном и трехмерном случае процесс ортогонализации значительно упрощается. Например, в трехмерном случае нетривиальный элемент ядра найдется среди тройки векторов $$\vec{a}_1\times\vec{a}_2, \vec{a}_1\times\vec{a}_3, \vec{a}_2\times\vec{a}_3$$.

Как показывают практические вычисления, последовательные приближения $$\vec{n}_i$$ быстро сходятся к искомому вектору нормали.

Мы уже рассчитывали замкнутые потоки энергии в стационарных полях зарядов и магнитов. Перейдем к более экзотическому примеру с участием не открытого на опыте магнитного монополя.

Как и в любых скрещенных электрических и магнитных полях, вокруг электрического заряда и магнитного монополя существуют потоки энергии, определяемые вектором Пойнтинга $$\vec{S}\sim\vec{E}\times\vec{B}$$. Они замкнуты и охватывают ось симметрии системы, что может означать наличие в ней момента импульса.

Если заряд движется строго на монополь, то взаимодействие между ними отсутствует. Действительно, монополь не испытывает действие электрического поля заряда. Магнитное поле заряда на линии движения нулевое. Монополь не создает электрическое поле, а его магнитное поле коллинеарно скорости заряда, поэтому силы на заряд тоже не действуют. Отсутствие взаимодействия в этом случае наводит на мысль о том, что момент импульса остается неизменным.

По соображениям размерности момент импульса, как безразмерная величина (в единицах c = ħ = 1), не может зависеть от расстояния между зарядом и монополем — единственного размерного параметра системы. Убедимся в этом непосредственным вычислением.

Поместим электрический заряд q в точку $$\vec{a}$$ и магнитный заряд m в точку $$-\vec{a}$$. Тогда они будут создавать поля

$$\vec{E}(\vec{R})={q\over |\vec{R}-\vec{a}|^3}(\vec{R}- \vec{a}),\quad\vec{B}(\vec{R}) ={m\over |\vec{R} + \vec{a}|^3}(\vec{R} + \vec{a}).$$

Плотность импульса связана с вектором Пойнтинга

$$\vec{P} = {\vec{S} \over c^2} = {1\over 4\pi c}\vec{E}\times\vec{B}= {qm\over 4\pi c}{(\vec{R}-\vec{a})\times (\vec{R}+\vec{a})\over \left(\left(R^2+a^2\right)^2-4\left(\vec{R}\cdot\vec{a}\right)^2\right)^{3/2}}.$$

Полный момент импульса находится интегрированием по всему пространству

$$\vec{L}=\int\!\vec{R}\times\vec{P}\,dV={qm\over 2\pi c}\int\! dV{\vec{R}\times[\vec{R}\times\vec{a}]\over \left(\left(R^2 + a^2\right)^2- 4\left(\vec{R}\cdot\vec{a}\right)^2\right)^{3/2}}.$$

Выбираем ось z вдоль $$\vec{a}$$, угол между этой осью и радиус-вектором $$\vec{R}$$ есть полярный угол θ. Из соображений симметрии момент импульса должен быть направлен по оси z. Раскрываем двойное векторное произведение, находим проекцию на z и сразу интегрируем по азимутальному углу φ

$$L_z={qm\over c}\int\limits_0^{\infty}\! R^2dR\int\limits_{-1}^{1}\! d(\cos\theta){-a\,R^2\sin^2\theta\over \left(\left(R^2 + a^2\right)^2- 4(R\,a\cos\theta)^2\right)^{3/2}}.$$

Разделим числитель и знаменатель на a⁶ и введем новую безразмерную переменную интегрирования r = R/a. Таким образом, мы избавились от явной зависимости момента импульса от расстояний. Двойной интеграл не зависит от параметров задачи. С помощью любимого математического пакета можно убедиться, что он равен 1.

$$L_z=-{qm\over c}\int\limits_0^{\infty}\! r^4dr\int\limits_{-1}^{1}\! d(\cos\theta){1-\cos^2\theta\over \left(\left(r^2 + 1\right)^2- 4r^2\cos^2\theta\right)^{3/2}}=-{qm\over c}.$$

Таким образом, момент импульса в системе заряда и монополя направлен к последнему и равен (с точностью до несущественного множителя c) произведению их величин.

В квантовой механике момент импульса квантуется. Из полуклассических соображений приравнивая полученное выше выражение для момента к минимальному значению ħ/2, мы получаем такое же ограничение на минимальные («элементарные») значения электрического и магнитного зарядов, как и в теории Дирака (где ограничение следует из дискретности прироста фазы волновой функции заряда при полном обороте вокруг монополя)

$$q_{min}\, m_{min}={\hbar c\over 2}.$$

Как видим, присутствие во Вселенной хотя бы одного монополя приводит к квантованию всех электрических зарядов.